在临床实验中定量测定线性（范围）评价一般会用到EP-6A方法，其中有一步骤是用多项式回归分析及线性检验
所谓的线性检验，是指对每个非线性系数（多项式回归）作T检验，判断回归系数（b2,b3..bn）与零是否有显著性差异，其中b0与b1不反映非线性，故不需对其进行检验
所以我们需要对测定数据做个多项式回归分析，然后从结果中获得所需的系数（coefficients）；因此我们需要了解如何对数据进行多项式回归分析
多项式公式：
\[ \hat{h} = \theta_0 + \theta_1 x^1 + \ ... \ + \theta_{n-1} x^{n-1} + \theta_n x^n \]
如果令x0=1，在多样本的情况下，可以写成向量化的形式：
\[ \hat{h} = X \cdot \theta \]
如果假设中出现了高阶项，那么这个模型还是线性模型吗？此时看待问题的角度不同，得到的结果也不同。如果把上面的假设看成是特征x的方程，那么该方程就是非线性方程；如果看成是参数θ的方程，那么x的高阶项都可以看做是对应θ的参数，那么该方程就是线性方程。很明显，在线性回归中采用了后一种解释方式。因此多项式回归仍然是参数的线性模型。
参考自：【机器学习】多项式回归
Fitting Polynomial Regression in R
在R语言中，线性回归一般会想到用lm()函数，对于多项式回归也不例外
data <- data.frame(x = c(0.50, 1.00, 1.50, 2.00, 3.00, 4.00, 5.00),
y = c(6.24, 14.21, 23.31, 32.62, 49.28, 67.65, 85.59))拟合多项式，有两种方法（以二项式为例）：
有正交的模型：
fit.plm <- lm(y ~ poly(x, degree = 2), data = data)无正交的模型：
fit.plm <- lm(y ~ x + I(x^2), data = data)对于上述两者的区别，可参照：How to interpret coefficients from a polynomial model fit?
If you just want a nudge in the right direction without quite so much judgement: poly() creates orthogonal (not correlated) polynomials, as opposed to I(), which completely ignores correlation between the resultant polynomials. Correlation between predictor variables can be a problem in linear models, so it's probably better (in general) to use poly() instead of I().
若想将正交的结果转化为原来变量的回归方程，需再加个raw = TRUE参数
fit.plm <- lm(y ~ poly(x, degree = 2, raw = TRUE), data = data)查看回归拟合结果：
> summary(fit.plm)
Call:
lm(formula = y ~ x + I(x^2), data = data)
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7
0.191786 -0.451418 -0.021044 0.562907 -0.398458 0.124486 -0.008259
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -2.50857 0.53285 -4.708 0.00925 **
x 17.05714 0.48219 35.374 3.81e-06 ***
I(x^2) 0.11284 0.08583 1.315 0.25888
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.4278 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9999, Adjusted R-squared: 0.9998
F-statistic: 1.384e+04 on 2 and 4 DF, p-value: 2.088e-08上述coefficients中，一般会关注Estimate（系数估计值），Std. Error（系数SE），t value（T统计量），Pr(>|t|)（显著性P值），degrees（自由度）以及Residual standard error（回归/残差标准误）
对于自由度：
统计推断里面，t检验为n-1，简单理解就是有n个数，我们知道了前n-1个具体的数，同时知道了n个数的平均，我们就可以知道第n个数了，所以其实只有n-1个数是自由的。但是在一元回归里，残差所对应的自由度（即t分布的自由度）=n-p（自变量或者称被解释变量的个数）-1（因变量或者称解释变量的个数）。【其实还是和统计推断里面一样的，不过，TSS=RSS+ESS,TSS里面的自由度是n-1，但是RSS自由度为p（自变量或者称被解释变量的个数），所以ESS自由度为n-p-1】
参考自：t检验自由度如何选择？
对于多项式回归的自由度df = L - Rdf，其中L为样本数，Rdf为回归自由度，一般一次多项式Rdf=1，二次多项式Rdf=2依次类推，即回归方程中系数（包括b0）的个数
对于有重复测试的数据，df需要再考虑样本测定次数，因此
df = L * R - Rdf，其中R为每个样本的测定次数
对于回归结果的展示，也可用sjPlot包的tab_model()函数来查看更加美观的结果
sjPlot::tab_model(fit.plm, show.se = T, show.stat = T, show.df = T, show.fstat = T, show.dev = T)Linearity Test
对多项式回归方程进行线性检验（Linearity Test）：
对于线性检验，我们可根据每个回归系数的显著性P值来判断 如果二次多项式模型的非线性系数b2，或三次多项式模型的非线性系数b2 和b3中的任意一个与0比较，都有显著差异（P小于0.05），则认为该组数据存在非线性
这只是统计学上的显著性，只是非线性被检测到了；对于临床标准而言，还要进行线性与非线性检验
上述多项式回归分析主要是利用统计学方法进行线性判断，统计学标准的线性可称为一阶线性，对数据组的要求很高。对于在临床实验室中使用的测定方法，在其临床应用实践中允许有一定的非线性误差，此时通过对统计学标准的非线性作程度判断，可得到临床标准的线性，即二阶线性。
临床标准的线性检验中使用了两个统计量，ADL（偏离直线平均差异，average deviation from linearity）与PctBnd（百分区界 ，percent bound） ，对于大多数分析物PctBnd取5%。如ADL小于所要求的临界判断值，则可认为数据组具有临床可接受的线性，所拟合出的最适非线性多项式无临床意义。
参考自：线性范围的评估及数据处理方法以及线性范围评估指南
参考资料：
Fitting Polynomial Regression in R
Polynomial regression techniques
R实现Polynomial regression
https://haifengniu.com/zh/post/r-statistics/
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